22 septembre 2008
Suite de Syracuse (ou de Collatz)
En mathématiques, on appelle suite de Syracuse, une suite d'entiers naturels définie de la manière suivante :
On part d'un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.
Autrement dit :
pour tout i > 0
- Si Ui est pair alors U i+1 = Ui / 2
- Si Ui est impair alors Ui+1 = 3×Ui + 1
Par exemple, à partir de 14, on construit la suite des nombres : 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2… C'est ce qu'on appelle la suite de Syracuse du nombre quatorze.
Après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs (1,4,2,1,4,2…) se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.
Si l'on était parti d'un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de départ n'atteigne jamais la valeur 1, soit qu'elle aboutisse à un cycle différent du cycle trivial, soit qu'elle diverge vers l'infini. Or, on n'a jamais trouvé d'exemple de suite obtenue suivant les règles données qui n'aboutisse à 1 et, par suite, au cycle trivial.
La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz, est l'hypothèse mathématique selon laquelle les suites de Syracuse de tous les nombres strictement positifs atteignent le cycle trivial (1,4,2,1,4,2…)
En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture continue de défier les mathématiciens. Paul Erdős a dit à propos de la conjecture de Syracuse : « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ».
La conjecture de Collatz a tellement passionné les meilleurs des mathématiciens américains que certains ont soupçonné Collatz d'être un agent du KGB : sa conjecture était en fait l'arme d'une conspiration destinée à saper la vraie recherche mathématique aux Etats Unis.
A l'ère du pétaoctet , je veux dire avec la puissance de calcul fantastique des ordinateurs actuels ,on est capable de vérifier cette conjecture pour des valeurs extrêmement grandes du nombre choisi pour "démarrer" la suite, mais on ne sait toujours pas la démontrer.
Mille milliards d'exemples ne constituent pas une preuve ! (parce qu'ils ne pèsent rien par rapport à l'infinité des cas possibles)
Gare à ceux qui vont conclure à partir de 3 ou 4 exemples dans le prochain DS.
3x+1@home est un projet de recherche distribué qui a pour but de trouver des suites de Collatz qui ont les "temps de vol"(nombre d'étapes pour arriver à 1) les plus longs.
En août on a trouvé le nombre 2.361.235.441.021.745.907.775 dont la suite de Collatz n'arrive à 1 qu'après 2284 étapes.
Dans cette suite de Syracuse particulière , on sait que Un = 1 et U1 = 6444 ;
Que vaut Un-9 ?
Pour visualiser "un vol " de Syracuse , c'est à dire la trajectoire déterminée en joignant les premiers termes d'une suite de Syracuse jusqu'à l'arrivée du premier 1
vous pouvez cliquer ici
Remarque :sur le curseur,à la place de n,lire U1
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Source wikipédia
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