Le Blog d'ABC Maths: Taux et taux .

14 décembre 2009

Taux et taux .

Quand l'heure de la retraite approche,... - quel mot mal choisi,retraite! Cela évoque retrait, dépôt des armes,il y a belle lurette que les professeurs sont désarmés (dans tous les sens du terme)-

Quand l'heure de la libération approche, disais-je,...

- Non, libération, cela fait militaire aussi; et puis, je ne me sens pas du tout prisonnier-

Quand l'heure de la liberté approche - oui, liberté c'est mieux, liberté de commencer mon numéro non pas à 7 heures 55 mn mais quand je veux,avec qui je veux et jusqu'à l'aube si on le décide - quand l'heure de la liberté approche, donc, il est légitime de penser à migrer vers des cieux plus cléments : A Nice, par exemple, où a été prise cette photo d'une résidence secondaire.

Mais pour acheter une résidence secondaire,il faut, en général, emprunter au meilleur taux :

Vous l'avez compris, nous allons une fois de plus parler d'argent ! Un intérêt est dit composé lorsqu'il est intégré au capital à la fin de chaque période de placement (l'intérêt est alors lui-même producteur d'intérêt).
Dans ce cas, si on note Co le capital initial, Cn le capital acquis (capital initial + intérêts) après n périodes ; et t taux du placement , Cn se calcule par la formule: Cn = Co(1+t)^n .

(dans cette formule, si le taux est de 5%, on remplacera t par 0,05)

(Cn) est une suite géomètrique de raison 1+t

"Les pourcentages ne s'ajoutent pas ! " dit-on, pour simplifier.

Ainsi une augmentation de 1% par mois , cela ne fait pas 12% sur un an contrairement à ce que beaucoup de journalistes affirment régulièrement

mais 100((1.01)^12 -1) soit exactement 12,6825 % . Les journalistes se trompent un peu mais on les pardonne, il n'y a pas beaucoup de mathématiques dans les écoles de journalisme . Mais les banquiers ?

Supposons que je souhaite emprunter à ma banque un capital C , sur une certaine période N, exprimée en mois, à un taux mensuel t : La formule permettant le calcul de la mensualité M fait en effet intervenir le taux mensuel t - logique puisqu'on rembourse tous les mois- et non pas le taux annuel qui figure dans les offres de prêt (reconnaissons que le taux mensuel ne serait pas très "parlant")

Voici donc la formule qui donne la mensualité M quand on souhaite emprunter un capital C sur N mois à un taux mensuel fixe de t % :

(Je vous fais grâce du calcul pour l'établir car ce n'est pas à celui-ci que nous allons nous intéresser dans ce billet)

Intéressons-nous à la détermination du taux mensuel t lorsqu'on connaît le taux annuel .

Prenons par exemple comme base un taux annuel de 3,6% ; c'est ce qui se pratique actuellement pour des prêts sur 10 ans .

Ceux qui suivent ont compris qu'une augmentation en pourcentage engendre une suite géométrique et non pas arithmétique :

(t+1) élevé à la puissance douze doit donner 1,036 .

Par conséquent:

La calculatrice donne un taux mensuel approximatif de 0,2952 % (à 10^(-4) près)

Cela peut paraître un peu compliqué aux mathaphobes mais c'est la bonne méthode ,la seule méthode justifiable mathématiquement !

Et les banquiers, comment font-ils ?

On pourrait légitimement penser qu'ils calculent le taux mensuel comme je viens de vous l'indiquer .

Eh bien, non, c'est sans doute trop compliqué pour eux !

Les banquiers, tous les banquiers, considèrent que la définition du taux mensuel à partir du taux annuel n'est qu'une simple question de convention et ils appliquent ce qu'ils appellent la méthode proportionnelle :

Pour avoir le taux mensuel,ils divisent tout simplement le taux annuel par 12 !

Comme si les pourcentages s'ajoutaient .

Ainsi,ils obtiennent pour notre exemple un taux mensuel de

3,6 % : 12 soit 0,3 % .

En résumé ,ils font comme les journalistes qui affirment qu'une augmentation de 1% par mois, cela fait au bout du compte 12% sur un an,ce qui est mathématiquement faux, vous l'avez compris . Cette "méthode"de calcul figurant dans le contrat,on ne peux que s'incliner .

Il ne nous aura pas échappé cependant que cette soit disant méthode proportionnelle les avantage quelque peu puisque le calcul de la mensualité se fait à partir de ce taux mensuel .

Curieusement,pour certains types de prêts aidés par l'état (de type épargne logement),ils appliquent la bonne méthode qu'ils appellent méthode actuarielle, ce qui prouve,par parenthèses,qu'ils savent qu'il y a une bonne méthode et une mauvaise.

(mauvaise mathématiquement et mauvaise pour nous mais bonne pour eux puisqu'elle les avantage quelque peu .)

L'explication est peut-être que,ces prêts étant subventionnés par l'Etat, un fonctionnaire d'Etat a pu rédiger une partie du contrat; ce qui démontre si vous n'en étiez pas encore convaincu que les fonctionnaires d'Etat sont plus rigoureux que les employés du Crédit Ovicole (où les clients sont des moutons à tondre) ou du Crédit Avicole si vous préférez (où les clients sont des pigeons à plumer).

Vous allez dire que la différence entre 0,2952 et 0,3 n'est pas énorme .

C'est vrai :

Dans un cas, pour un prêt de 100 000 € sur 10 ans on obtient une mensualité de 990,95 €

et dans l'autre 993,5 €.

Au total ,la banque, n'importe quelle banque, puisqu'elles font toutes le même calcul contestable, encaissera, sur 10 ans, 312 € de plus .

Il n'y a pas de petits profits ni de petits crottins !